Question

【題目】已知數列{an}的各項均為正數，其前n項的和為Sn ， 且對任意的m，n∈N*，
都有（Sm+n+S1）2=4a2ma2n ．
（1）求 的值；
（2）求證：{an}為等比數列；
（3）已知數列{cn}，{dn}滿足|cn|=|dn|=an ， p（p≥3）是給定的正整數，數列{cn}，{dn}的前p項的和分別為Tp ， Rp ， 且Tp=Rp ， 求證：對任意正整數k（1≤k≤p），ck=dk ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由（Sm+n+S1）2=4a2ma2n．取m=n=1，可得 ，

∵a1，a2＞0，∴a2+2a1=2a2，化為 =2

（2）證明：由（Sm+n+S1）2=4a2ma2n．

令m=n，可得S2n+a1=2a2n，①

∴S2n+2+a1=2a2n+2．②

令m=n+1，可得 ，③

∴③﹣①可得：a2n+1=2 ﹣2a2n= ，④

②﹣③可得：a2n+2= ，⑤

由④⑤可得： ，⑥

把⑥代入④可得：a2n+1=2a2n，

把⑥代入⑤可得：a2n+2=2a2n+1，

∴ =2，又 =2．∴ ，n∈N*．

∴{an}為等比數列，首項為a1，公比為2

（3）證明：由（2）可知：an= ，

∵|cn|=|dn|=an= ，

∴cp=±dp，若cp=﹣dp，

不妨設cp＞0，cp＜0，

則Tp≥ ﹣ = ﹣ =a1＞0，

Rp≤﹣ + =﹣ + =﹣a1＜0，

這與Tp=Rp矛盾，∴cp=dp，

于是Tp﹣1=Rp﹣1，可得cp﹣1=dp﹣1，于是cp﹣2=dp﹣2，…，c1=d1．

∴對任意正整數k（1≤k≤p），ck=dk．

【解析】（1）由（Sm+n+S1）2=4a2ma2n ． 取m=n=1，可得 ，利用a1 ， a2＞0，即可得出．（2）由（Sm+n+S1）2=4a2ma2n ． 令m=n，可得S2n+a1=2a2n ， S2n+2+a1=2a2n+2 ． 令m=n+1，可得 ，化簡整理可得：a2n+1=2a2n ， a2n+2=2a2n+1 ， 利用等比數列的通項公式即可得出．（3）由（2）可知：an= ，由于|cn|=|dn|=an= ，可得cp=±dp ， 若cp=﹣dp ， 不妨設cp＞0，cp＜0，則Tp≥a1＞0，Rp≤﹣a1＜0，這與Tp=Rp矛盾，可得cp=dp ， 于是Tp﹣1=Rp﹣1 ， 即可證明．
【考點精析】通過靈活運用數列的前n項和和數列的通項公式，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式即可以解答此題．