Question

（本題滿分12分）三棱錐中，，，．

（Ⅰ）求證：平面平面；
（Ⅱ）若，且異面直線與的夾角為時，求二面角的余弦值．

Answer 1

（1）通過建立空間直角坐標系來分析，或者利用線面垂直平面，進而得到面面垂直。
（2）

試題分析：證明：（Ⅰ）作平面于點，∵，

∴，即為的外心
又∵中，
故為邊的中點
所以平面
即證：平面平面．　　．．．．．．．6分
（Ⅱ）∵中，，，∴
∵，且異面直線與的夾角為，
∴，∴為正三角形，可解得.
以為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系，則
， ，，
，∴． …………………….9分
設平面的法向量為
，
由，  取
平面的法向量為
∴.
由圖可知，所求二面角為鈍角，其的余弦值為．    ……….12分
點評：解決該類立體幾何問題，尤其是二面角的求解，通常情況下，都是建立空間直角坐標系，借助于法向量來求解二面角的方法。而對于面面垂直的證明，一般都是利用線面垂直為前提，結合面面垂直的判定定理得到，屬于中檔題。