Question

已知橢圓

x2

m

+y²=1（m＞1）和雙曲線

x2

n

-y²=1（n＞0）有相同的焦點F₁，F₂，P是它們的一個交點，則△F₁PF₂的形狀是（　　）

A．銳角三角形	B．直角三角形
C．鈍角三角形	D．隨m，n的變化而變化

Answer 1

由題意設兩個圓錐曲線的焦距為2c，橢圓的長軸長2

m

，
雙曲線的實軸長為2

n

，
不妨令P在雙曲線的右支上，
由雙曲線的定義|PF₁|-|PF₂|=2

m

，①
由橢圓的定義|PF₁|+|PF₂|=2

n

，②
①²+②²得|PF₁|²+|PF₂|²=2（m+n），
又∵橢圓

x2

m

+y²=1（m＞1）和雙曲線

x2

n

-y²=1（n＞0）有相同的焦點F₁，F₂，
∴m-1=n+1，∴m-n=2，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=2（m+n）=4m-2，
|F₁F₂|²=（2

m-1

）²=4m-2，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|，
則△F₁PF₂的形狀是直角三角形
故選：B．