Question

（2010•瀘州二模）已知首項為負的數列{a_n}中，相鄰兩項不為相反數，且前n項和為S_n=

1

4

(an-5)(an+7)．
（Ⅰ）證明數列{a_n}為等差數列；
（Ⅱ）設數列{

1

anan+1

}的前n項和為T_n，對一切正整數n都有T_n≥M成立，求M的最大值．

Answer 1

分析：（I）由S_n=

1

4

(an-5)(an+7)．結合通項與前n項和間的關系公式，求得（a_n+1-a_n-2）（a_n+1-a_n）=0
再由相鄰兩項不為相反數，有a_n+1-a_n=2符合等差數列的定義．
（II）由（I）知a_n=2n-7，將

1

anan+1

=

1

2

(

1

2n-7

-

1

2n-5

)變形，再用裂項相消法求得T_n，再通過單調性來求得其最小值即可．

解答：解：（I）∵S_n=

1

4

(an-5)(an+7)．
∵an+1=

1

4

(an+1-5)(an+1 +7)-

1

4

(an-5)(an+7)．
∴（a_n+1-a_n-2）（a_n+1-a_n）=0
∵相鄰兩項不為相反數
∴a_n+1-a_n=2
∴數列{a_n}為公差為2的等差數列；

（II）由（I）知a_n=2n-7
∴

1

anan+1

=

1

2

(

1

2n-7

-

1

2n-5

)
∴Tn=

1

2

(

1

-5

-

1

-3

+

1

-3

 -

1

1

 +…+

1

2n-7

 -

1

2n-5

) =

1

2

(

1

-5

-

1

2n-5

)
因為T_n在[1，2][3，+∝）上是增函數．
且T₁=

1

15

，T3= -

3

5

要使得對一切正整數n都有T_n≥M成立
只要M≤-

3

5

∴M的最大值為-

3

5

點評：本題主要考查兩個問題，一是判斷數列，方法一般是定義法或通項公式法，二是求前n項和，常用方法是倒序相加法，錯位相減法，裂項相消法等．