Question

（2010•瀘州二模）已知在△ABC中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且tanB=

2- 3

a2+c2-b2

，

BC

•

BA

=

1

2

．
（Ⅰ）求tanB的值；
（Ⅱ）求

2sin2 B 2 +2sin B 2 cos B 2 -1

cos( π 4 -B)

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據余弦定理及同角三角函數間的基本關系化簡已知條件tanB=

2- 3

a2+c2-b2

得到sinB的關系式，然后利用向量的數乘法則化簡

BC

•

BA

=

1

2

后得到關于ac的式子，代入到sinB的關系式中即可求出tanB的值；
（Ⅱ）把原式的分子前兩項利用二倍角的正弦、余弦函數公式化簡，分母利用兩角差的余弦函數公式及特殊角的三角函數公式化簡，合并后利用同角三角函數間的基本關系化簡得到關于tanB的式子，將（Ⅰ）中求得的tanB的值代入即可求出值．

解答：解：（Ⅰ）∵b²=a²+c²-2accosB
∴tanB=

sinB

cosB

=

2- 3

2accosB

，
∴sinB=

2- 3

2ac

，
∵

BC

•

BA

=

1

2

，
∴accosB=

1

2

，
∴tanB=2-

3

；
（Ⅱ）

2sin2 B 2 +2sin B 2 cos B 2 -1

cos( π 4 -B)

=

2 (sinB-cosB)

cosB+sinB

=

2 (tanB-1)

1+tanB

=

2 (2- 3 -1)

1+2- 3

=-

6

3

點評：此題考查學生靈活運用余弦定理、同角三角函數間的基本關系及二倍角的正弦、余弦函數公式化簡求值，是一道綜合題．