Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若對于任意的（為自然對數(shù)的底數(shù)），恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（I）當(dāng)時， 的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間是；（II）

【解析】

（Ⅰ）求出，分兩種情況討論，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（Ⅱ）對分四種情況討論，分別利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)最小值的表達(dá)式，令最小值不小于零，即可篩選出符合題意的的取值范圍.

（Ⅰ）的定義域為.

.

（1）當(dāng)時，恒成立，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）當(dāng)時，由解得，由解得.

∴的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間是.

（Ⅱ）①當(dāng)時，恒成立，在上單調(diào)遞增，

∴恒成立，符合題意.

②當(dāng)時，由（Ⅰ）知，在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（i）若，即時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

∴對任意的實數(shù)，恒成立，只需，且.

而當(dāng)時，

且成立.

∴符合題意.

（ii）若時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

∴對任意的實數(shù)，恒成立，只需即可，

此時成立，

∴符合題意.

（iii）若，在上單調(diào)遞增.

∴對任意的實數(shù)，恒成立，只需，

即，

∴符合題意.

綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.