Question

已知等比數列{a_n}中，a₁=0，a_n+1=

1

2-an

．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅱ）設數列{a_n}的前n項和為S_n，證明：S_n＜n-ln（n+1）；
（Ⅲ）設b_n=a_n（

9

10

）ⁿ，證明：對任意的正整數n、m，均有|b_n-b_m|＜

3

5

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將已知變形，整理，轉化成等差數列解決．
（Ⅱ）S_n無法進一步化簡，且原不等式為超越不等式，考慮借助于函數的單調性證明．
（Ⅲ）研究數列{b_n}的單調性，尋求最大項與最小項，或任兩項差的絕對值變化情況．

解答：解：（Ⅰ）因為 

1

an+1-1

=

1

1 2-an - 1

=

2-an

an-1

=-1+

1

an-1

                                          
所以 

1

an- 1

=

1

a1- 1

+ (n-1)•(-1)所以  an=1-

1

n

 
（Ⅱ）設F（x）=ln（x+1）-x（x＞0）
  則F(X)=

1

1+X

- 1=

-X

X+1

＜0
故F（x）＜F（0）=0   ln（x+1）＜x，
ln（1+

1

n

） ＜

1

n

   所以1-ln（1+

1

n

）＞1-

1

n

所以a_n=1-

1

n

＜1-ln（n+1）+lnn
所以S_n＜（1-ln2+ln1）+（1-ln3+ln2）+…+[1-ln（n+1）+lnn]=n-ln（n+1）
（Ⅲ）由已知  

bn

bn+1

=

n-1

n

×

n+1

n

×

10

9

=

n2- 1

n2

×

10

9

當

bn

bn+1

＞1時，n＞

10

，n≥4；當 

bn

bn+1

＜1時，n≤3，
所以b₁＜b₂＜b₃＜b₄＞b₅＞b₆＞…
又因為     n≥2，b_n＞0，b₁=0
所以對任意的正整數n、m，均有|b_n-b_m|的最大值為
 b4-b1=

3

4

×(

9

10

)4 -0=

19683

40000

＜

24000

40000

 =

3

5

所以對任意的正整數n、m，均有|b_n-b_m|＜

3

5

．

點評：本題考查等差數列的定義，數列的函數性質，不等式的證明方法-放縮法，要求具有較強的分析，解決，轉化，計算等能力．