Question

【題目】已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線(xiàn)相切.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)且.求證： 的面積為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）由橢圓的離心率為，圓心到直線(xiàn)的距離為等于及聯(lián)立方程組可求解，從而求得橢圓方程；（2）把直線(xiàn)的方程和橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出直線(xiàn)和橢圓的兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和與積，代入直線(xiàn)方程得到縱坐標(biāo)的積，結(jié)合得到斜率和的關(guān)系，利用弦長(zhǎng)公式求出，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，把三角形的面積表示為關(guān)于的代數(shù)式，整理后得到結(jié)果為定值．

試題解析：解：（1）由題意知，∴，即

又，

∴，橢圓的方程為

（2）設(shè)，由得，

， ．

， ，， ， ，8分