Question

【題目】某商場銷售某種品牌的空調器，每周周初購進一定數量的空調器，商場每銷售一臺空調器可獲利500元，若供大于求，則每臺多余的空調器需交保管費100元；若供不應求，則可從其他商店調劑供應，此時每臺空調器僅獲利潤200元．
（Ⅰ）若該商場周初購進20臺空調器，求當周的利潤（單位：元）關于當周需求量n（單位：臺，n∈N）的函數解析式f（n）；
（Ⅱ）該商場記錄了去年夏天（共10周）空調器需求量n（單位：臺），整理得表：

周需求量n	18	19	20	21	22
頻數	1	2	3	3	1

以10周記錄的各需求量的頻率作為各需求量發生的概率，若商場周初購進20臺空調器，X表示當周的利潤（單位：元），求X的分布列及數學期望．

Answer 1

【答案】解：（I）當n≥20時，f（n）=500×20+200×（n﹣20）=200n+6000，當n≤19時，f（n）=500×n﹣100×（20﹣n）=600n﹣2000，
∴ ．
（ II）由（1）得f（18）=8800，f（19）=9400，f（20）=10000，f（21）=10200，f（22）=10400，
∴P（X=8800）=0.1，P（X=9400）=0.2，P（X=10000）=0.3，P（X=10200）=0.3，P（X=10400）=0.1，
X的分布列為

X	8800	9400	10000	10200	10400
P	0.1	0.2	0.3	0.3	0.1

∴EX=8800×0.1+9400×0.2+10000×0.3+10200×0.3+10400×0.1=9860
【解析】（I）對n分類討論，利用利潤與周需求量的關系即可得出．（II）利用頻率估計概率，利用隨機變量的分布列即可得出．
【考點精析】本題主要考查了離散型隨機變量及其分布列的相關知識點，需要掌握在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列才能正確解答此題．