Question

【題目】在正方體中，分別是的中點(diǎn)，則（ ）

A. B. C. 平面 D. 平面

Answer 1

【答案】D

【解析】分析：對(duì)于選項(xiàng)A，由條件可得直線MN與平面相交，因?yàn)橹本�在平面內(nèi)，可得直線MN與直線不可能平行，判斷選項(xiàng)A不對(duì)；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以要證，只需證。而，所以與不垂直，選項(xiàng)B不對(duì)；對(duì)于選項(xiàng)C，可用反證法推出矛盾。假設(shè)平面，由直線與平面垂直的定義可得。因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，由等腰三角形的三線合一可得 。這與矛盾。故假設(shè)不成立。所以選項(xiàng)C不對(duì)；對(duì)于選項(xiàng)D，可找與直線MN平行的一條直線，證其垂直于平面。故分別取的中點(diǎn)P、Q，連接PM、QN、PQ。可得四邊形為平行四邊形。進(jìn)而可得。正方體中易得，由直線與平面垂直的判定定理可得平面。進(jìn)而可得平面。

詳解：對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?/span>分別是的中點(diǎn)，所以點(diǎn)平面，點(diǎn) 平面，所以直線MN是平面的交線，

又因?yàn)橹本�在平面內(nèi)，故直線MN與直線不可能平行，故選項(xiàng)A錯(cuò)；

對(duì)于選項(xiàng)B，正方體中易知 ，因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以直線 與直線不垂直。故選項(xiàng)B不對(duì)；

對(duì)于選項(xiàng)C ,假設(shè)平面，可得。因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，

所以 。這與矛盾。故假設(shè)不成立。

所以選項(xiàng)C不對(duì)；

對(duì)于選項(xiàng)D,分別取的中點(diǎn)P、Q，連接PM、QN、PQ。

因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以且。同理且。

所以且，所以四邊形為平行四邊形。

所以。

在正方體中，

因?yàn)?/span> ，平面 ，平面，

所以平面。因?yàn)?/span>，所以平面。

故選項(xiàng)D正確。

故選D.