Question

【題目】設(shè)數(shù)列{an}滿足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1an= ，n∈N* ．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)；
（2）設(shè) ，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a1+3a2+32a3+…+3n﹣1an= ，①

∴當(dāng)n≥2時(shí)，a1+3a2+32a3+…+3n﹣2an﹣1= ．②

①﹣②，得3n﹣1an= ，

所以 （n≥2），

在①中，令n=1，得 也滿足上式．

∴ ．

（2）解：∵ ，

∴bn=n3n．

∴Sn=3+2×32+3×33+…+n3n．③

∴3Sn=32+2×33+3×34+…+n3n+1．④

④﹣③，得2Sn=n3n+1﹣（3+32+33+…+3n），

即2Sn=n3n+1﹣ ．

∴

【解析】（1）由a1+3a2+32a3+…+3n﹣1an= 當(dāng)n≥2時(shí)，a1+3a2+32a3+…+3n﹣2an﹣1= ，兩式作差求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)．（2）由（1）的結(jié)論可知數(shù)列{bn}的通項(xiàng)．再用錯(cuò)位相減法求和即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系，以及對數(shù)列的通項(xiàng)公式的理解，了解如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．