Question

【題目】解答題
（1）在邊長為1的正方形ABCD內任取一點M，求事件“|AM|≤1”的概率；
（2）某班在一次數學活動中，老師讓全班56名同學每人隨機寫下一對都小于1的正實數x、y，統計出兩數能與1構成銳角三角形的三邊長的數對（x，y）共有12對，請據此估計π的近似值（精確到0.001）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖，在邊長為1的正方形ABCD內任取一點M，滿足條件的點M落在扇形BAD內（圖中陰影部分），由幾何概型概率計算公式，有： P ( | M A | ≤ 1 ) = S陰影部分/S正方形ABCD =，

故事件“|AM|≤1”發生的概率為 ．

（2）

以點A為坐標原點，AB為x軸，AD為y軸建立平面直角坐標系，如圖所示：

任取兩個小于1的正數x，y，所有基本事件構成區域 Ω = { ( x , y ) | { 0 < x < 1 ;0 < y < 1 } ，

，即正方形ABCD內部；

事件N=“以x，y與1為邊長能構成銳角三角形”包含的基本事件構成區域

，即扇形BAD以外正方形ABCD以內的陰影部分；

由（1）知：

全班56名同學每人隨機寫下一對都小于1的正實數x、y，可以看作在區域Ω中任取56個點；滿足“以x，y與1為邊長能構成銳角三角形”的（x，y）共有12對，即有12個點落在區域N中，

故其概率為，用頻率估計概率，有,即，

∴即π的近似值為3.143．

【解析】（1）根據已知條件，求出滿足條件的正方形ABCD的面積，及事件“|AM|≤1”對應平面區域的面積，代入幾何概型計算公式，即可求出答案．（2）以點A為坐標原點，AB為x軸，AD為y軸建立平面直角坐標系，如圖所示：任取兩個小于1的正數x，y，所有基本事件構成區域 ，即正方形ABCD內部；事件N=“以x，y與1為邊長能構成銳角三角形”包含的基本事件構成區域 ，即扇形BAD以外正方形ABCD以內的陰影部分，由幾何概型概率計算公式，得出所取的點在圓內的概率是圓的面積比正方形的面積，二者相等即可估計π的值．
【考點精析】本題主要考查了幾何概型的相關知識點，需要掌握幾何概型的特點：1）試驗中所有可能出現的結果（基本事件）有無限多個；2）每個基本事件出現的可能性相等才能正確解答此題．