Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，AC=3，△ABC的面積等于 ，D為邊長BC上一點．

（1）求BC的長；
（2）當AD= 時，求cos∠CAD的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在△ABC中，∠BAC=120°，AC=3，△ABC的面積等于 ACABsin∠BAC= 3AB = ，

∴AB=5，再由余弦定理可得BC2=AB2+AC2﹣2ABACcos∠BAC=25+9﹣2×5×3×（﹣ ）=49，

∴BC=7．

（2）解：由題意可得cosC= = ，sinC= ．

D為邊長BC上一點，當AD= 時，△ACD中，利用正弦定理可得 = ，即 = ，

求得sin∠ADC= ，∴cos∠ADC=± =± ．

當 cos∠ADC= ，cos∠CAD=﹣cos（C+∠ADC）=﹣cosCcos∠ADC+sinCsin∠ADC

=﹣ + = ．

當 cos∠ADC=﹣ ，cos∠CAD=﹣cos（C+∠ADC）=﹣cosCcos∠ADC+sinCsin∠ADC

=﹣ （﹣ ）+ =

【解析】（1）由條件利用余弦定理、三角形的面積公式先求得AB的值，可得BC的值．（2）利用正弦定理求得sin∠ADC 的值，可得cos∠ADC 的值，再利用兩角和的余弦公式，求得cos∠CAD=﹣cos（C+∠ADC）的值．
【考點精析】本題主要考查了余弦定理的定義的相關知識點，需要掌握余弦定理:;;才能正確解答此題．