Question

已知橢圓C：＝1(a>b>0)的離心率與等軸雙曲線的離心率互為倒數關系，直線l：x－y＋＝0與以原點為圓心， 以橢圓C的短半軸長為半徑的圓相切．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設M是橢圓的上頂點，過點M分別作直線MA，MB交橢圓于A，B兩點，設兩直線的斜率分別為k₁，k₂，且k₁＋k₂＝4，證明：直線AB過定點.

Answer 1

（1）＋y²＝1.（2）見解析

(1)∵等軸雙曲線離心率為，∴橢圓C的離心率e＝.
∴e²＝＝，∴a²＝2b².
∵由x－y＋＝0與圓x²＋y²＝b²相切，得
b＝1，∴a²＝2.
∴橢圓C的方程為＋y²＝1.
(2)證明　①若直線AB的斜率不存在，設方程為x＝x₀，則點A(x₀，y₀)，B(x₀，－y₀)．
由已知＝4，得x₀＝－.
此時AB方程為x＝－，顯然過點.
②若直線AB的斜率存在，設AB方程為y＝kx＋m，依題意m≠±1.
設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，由
得(1＋2k²)x²＋4kmx＋2m²－2＝0.
則x₁＋x₂＝－，x₁x₂＝.
由已知k₁＋k₂＝4，可得＋＝4，
∴＋＝4，即2k＋(m－1) ＝4，將x₁＋x₂，x₁x₂代入得k－＝2，∴k＝2(m＋1)，
∴m＝－1.故直線AB的方程為y＝kx＋－1，
即y＝k－1.
∴直線AB過定點.
綜上，直線AB過定點.