Question

【題目】已知函數在上是增函數．

求實數的值；

若函數有三個零點，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

根據分段函數的單調性，結合導數判斷函數在上單調遞增即可；

討論時不滿足題意，則，根據分段函數單調可知在時，已經存在兩個零點，在等價為當時，有且只有一個零點，利用參變分離法結合圖象進行求解即可。

解：當時，是增函數，且，

故當時，為增函數，即恒成立，

當時，函數的導數恒成立，

當時，，此時相應恒成立，即恒成立，即恒成立，

當時，，此時相應恒成立，即恒成立，即恒成立，

則，即．

若，則在上是增函數，此時最多有一個零點，不可能有三個零點，則不滿足條件．

故，

當時，有一個零點，

當時，，故0也是故的一個零點，

故當時，有且只有一個零點，即有且只有一個解，

即，得，，

則，在時有且只有一個根，

即與函數，在時有且只有一個交點，

，

由得，即得，得，此時函數遞增，

由得，即得，得，此時函數遞減，

即當時，函數取得極小值，此時極小值為

，

，

作出的圖象如圖，

要使與函數，在時有且只有一個交點，

則或，

即實數的取值范圍是．