Question

【題目】如圖，橢圓：的左、右焦點分別為，軸，直線交軸于點，，為橢圓上的動點，的面積的最大值為1.

(1)求橢圓的方程；

(2)過點作兩條直線與橢圓分別交于且使軸，如圖，問四邊形的兩條對角線的交點是否為定點？若是，求出定點的坐標；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）定點坐標為.

【解析】

（Ⅰ）意味著通徑的一半，最大面積為，所以，故橢圓的方程為.

(Ⅱ)根據對稱性，猜測定點必定在軸上，故可設，，則，，再設，根據三點共線可以得到，聯立直線和橢圓的標準方程后消去，利用韋達定理可以得到，從而過定點，同理直線也過即兩條直線交于定點.

（Ⅰ）設，由題意可得，即.

∵是的中位線，且，

∴，即，整理得.①

又由題知，當在橢圓的上頂點時，的面積最大，

∴，整理得，即，②

聯立①②可得，變形得，解得，進而.

∴橢圓的方程式為.

(Ⅱ)設，，則由對稱性可知，.

設直線與軸交于點，直線的方程為，

聯立，消去，得，

∴，，

由三點共線，即，

將，代入整理得，

即，從而，化簡得，解得，于是直線的方程為， 故直線過定點.同理可得過定點，

∴直線與的交點是定點，定點坐標為.