Question

已知橢圓的焦點為，，且經過點.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設過的直線與橢圓交于、兩點，問在橢圓上是否存在一點，使四邊形為平行四邊形，若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）橢圓的方程為；（Ⅱ）存在符合條件的直線的方程為：．

試題分析：（Ⅰ）已知橢圓的焦點為，，且經過點，求橢圓的方程，顯然，而正好是過焦點，且垂直于軸的弦的端點，故，再由，解出即可；（Ⅱ）設過的直線與橢圓交于、兩點，問在橢圓上是否存在一點，使四邊形為平行四邊形，若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由，此題是探索性命題，一般都是假設存在符合條件的點，根據題意，若能求出直線的方程，就存在，若不能求出直線的方程，就不存在，此題設直線的方程為，代入方程得的中點為 ， 由于四邊形為平行四邊形，與的中點重合，得點坐標，代入橢圓方程求出的值，從而得存在符合條件的直線的方程為：．
試題解析：（Ⅰ）                       3分
，                                       5分
 橢圓的方程為                         7分
（Ⅱ）假設存在符合條件的點,
設直線的方程為                          8分
由得:，，
，
的中點為                   10分
四邊形為平行四邊形，與的中點重合，即：
                             13分
把點坐標代入橢圓的方程得:
解得                                         14分
存在符合條件的直線的方程為：       15分