Question

已知橢圓，、是其左右焦點，離心率為，且經過點.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若、分別是橢圓長軸的左右端點，為橢圓上動點，設直線斜率為，且，求直線斜率的取值范圍；
（3）若為橢圓上動點，求的最小值.

Answer 1

（1）橢圓的方程為；（2）直線的斜率的取值范圍是；
（3）的最小值是.

試題分析：（1）利用離心率以及確定、之間的等量關系，然后將點的坐標代入橢圓的方程求出、，從而確定橢圓的標準方程；（2）設直線的斜率為，并設點的坐標為，利用點在橢圓上以及斜率公式得到，進而利用的取值范圍可以求出的取值范圍；（3）利用已知條件，利用余弦定理得到，結合基本不等式求出的最小值.
試題解析：（1），故橢圓的方程為；
（2）設的斜率為，設點，
則，，
及，
則＝ 又，
，故斜率的取值范圍為；
（3）設橢圓的半長軸長、半短軸長、半焦距分別為、、，則有
，，，，
由橢圓定義，有，
 



的最小值為.
（當且僅當時，即取橢圓上下頂點時，取得最小值）