Question

【題目】在直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，點的極坐標為.

（1）求的直角坐標方程和的直角坐標；

（2）設與交于，兩點，線段的中點為，求.

Answer 1

【答案】（1），（2）

【解析】

（1）利用互化公式把曲線C化成直角坐標方程，把點P的極坐標化成直角坐標；

（2）把直線l的參數方程的標準形式代入曲線C的直角坐標方程，根據韋達定理以及參數t的幾何意義可得．

（1）由ρ2得ρ2+ρ2sin2θ＝2，將ρ2＝x2+y2，y＝ρsinθ代入上式并整理得曲線C的直角坐標方程為y2＝1，

設點P的直角坐標為（x，y），因為P的極坐標為（，），

所以x＝ρcosθcos1，y＝ρsinθsin1，

所以點P的直角坐標為（1，1）．

（2）將代入y2＝1，并整理得41t2+110t+25＝0，

因為△＝1102﹣4×41×25＝8000＞0，故可設方程的兩根為t1，t2，

則t1，t2為A，B對應的參數，且t1+t2，

依題意，點M對應的參數為，

所以|PM|＝||．