Question

【題目】已知等差數列的前項和為，集合，集合B＝{x2﹣y2＝1，x，y∈R}，請判斷下列三個命題的真假.若為真，請給予證明；若為假，請舉出反例.

（1）以集合中的元素為坐標的點均在同一條直線上；

（2）A∩B至多有一個元素；

（3）當a1≠0時，一定有A∩B≠．.

Answer 1

【答案】（1）真命題，點（an，）均在直線y＝x+a1上，見解析；（2）真命題，見解析；（3）假命題，見解析

【解析】

（1）在等差數列中，寫出數列的前n項和的公式，表達出集合中的元素，得到點的坐標適合直線的方程．

（2）列出方程組，利用消元法求出方程組的解，驗證這個方程組只有一個解，得到這個集合至多有一個元素．

（3）驗證當首項為1，公差為1時，集合A中的元素作為點的坐標，其橫、縱坐標均為正，由于a1＝1≠0，如果A∩B≠，根據（2）的結論，A∩B至多有一個元素（x0，y0），當a1≠0時，一定有A∩B≠是不正確的．

（1）在等差數列{an}中，對一切n∈N*，有Sn＝，則，

這表明點（an，）適合方程y＝（x+a1），于是點（an，）均在直線y＝x+a1上．

（2）設（x，y）∈A∩B，則x，y是方程組的解，

由方程組消去y得2a1x+a12＝﹣4，

當a1＝0時，方程2a1x+a12＝﹣4無解，此時A∩B＝；

當a1≠0時，方程2a1x+a12＝﹣4只有一個解x＝，此時，方程組只有一解，

故上述方程組至多有解，∴A∩B至多有一個元素．

（3）取a1＝1，d＝1，對一切的n∈N*，有an＝a1+（n﹣1）d＝n＞0，＞0，

這時集合A中的元素作為點的坐標，其橫、縱坐標均為正，另外，由于a1＝1≠0，如果A∩B≠，

那么根據（2）的結論，A∩B至多有一個元素（x0，y0），

而x0＝＝﹣＜0，y0＝＝﹣＜0，這樣的（x0，y0）A，產生矛盾，故a1＝1，d＝1時，A∩B＝，

∴當a1≠0時，一定有A∩B≠是不正確的．