Question

【題目】在平面直角坐標系中，O為坐標原點，A，B，C三點滿足。

（1）求證：A，B，C三點共線；

（2）若A（1，cosx），B（1+sinx，cosx），且x∈[0， ]，函數f（x）=（2m+）||+m2的最小值為5，求實數m的值。

Answer 1

【答案】(1)見解析(2) m的值為-3或

【解析】試題分析: （1）因為,且,化簡可得,即∥，又與有公共點A，則命題成立; （2）根據和=-求出,的坐標,代入解析式f（x）,化簡可得關于sin x的二次函數,討論對稱軸與區間[0，1]的中點為的關系,根據單調性分別得出最小值,列出等式求得m的值.

試題解析:

（1）因為，

所以∥，又與有公共點A，

所以A，B，C三點共線。

（2）因為=（1，cosx），=（1+sinx，cosx），

所以= + =（1+sinx，cosx），=-=（sinx，0），

故·=1+sinx+cos2x，||==sinx，

從而f（x）=·+（2m+）||+m2=1+sinx+cos2x+（2m+）sinx+m2

=cos2x+（2m+1）sinx+1+m2=-sin2x+（2m+1）sinx+2+m2，

關于sin x的二次函數的對稱軸為sin x=，

因為x [0， ]，所以sin x [0，1]，又區間[0，1]的中點為。

①當≤，即m≤0時，當sinx=1時，f（x）min=m2+2m+2，

由f（x）min=5得m=-3或m=1，又m≤0，所以m=-3；

②當>，即m>0時，當sinx=0時，f（x）min=2+m2，

由f（x）min=5得m=，又m>0，所以m=。

綜上所述：m的值為-3或。

點睛:平面向量的數量積計算問題，往往有兩種形式，一是利用數量積的定義式，二是利用數量積的坐標運算公式，先建立適當的平面直角坐標系，可起到化繁為簡的妙用. 利用向量夾角公式、模公式及向量垂直的充要條件，可將有關角度問題、線段長問題及垂直問題轉化為向量的數量積來解決．列出方程組求解未知數.