Question

【題目】已知各項為正數的等比數列{an}滿足：a7=a6+2a5 ， 若存在兩項am、an使得 ，則 的最小值為 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：設等比數列的公比為q，則由 a7=a6+2a5 ， 可得到 a6q=a6+2 ，
由于 an＞0，所以上式兩邊除以a6 得到q=1+ ，解得q=2或q=﹣1．
因為各項全為正，所以q=2．
由于存在兩項 am ， an 使得 ，所以，aman=8 ，
即 =8 ，∴qm+n﹣2=8，∴m+n=5．
當 m=1，n=4時， =2； 當 m=2，n=3時， = ；當 m=3，n=2時， = ；
當 m=4，n=1時， = ．
故當 m=2，n=3時， 取得最小值為 ，
所以答案是 ．
【考點精析】本題主要考查了基本不等式和等比數列的基本性質的相關知識點，需要掌握基本不等式：,（當且僅當時取到等號）；變形公式：；{an}為等比數列，則下標成等差數列的對應項成等比數列;{an}既是等差數列又是等比數列== {an}是各項不為零的常數列才能正確解答此題．