【題目】已知圓
經(jīng)過
，
兩點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的四個截距之和是
.
（1）求圓的方程；
（2）若
為圓內(nèi)一點(diǎn)，求過點(diǎn)
被圓截得的弦長最短時的直線
的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）設(shè)圓
的一般方程為
，分別令
，
，應(yīng)用韋達(dá)定理可得圓在
軸上的截距和，再把兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得關(guān)于
三個方程，聯(lián)立解之可得；
（2）當(dāng)直線
過定點(diǎn)
，且與過此點(diǎn)的圓的半徑垂直時，被圓截得的弦長最短，由此可直線斜率，得直線方程．
（1）設(shè)圓的方程為，令，得
，圓在
軸上的截距之和為
；令，得
，圓在
軸上的截距之和為
.
由題意有
，即
.①
又
，
兩點(diǎn)在圓上，則
即
②
聯(lián)立①②，解得
，
，
，于是所求圓的方程為.
（2）設(shè)直線的斜率為
.由（1）知，圓的方程為
，圓心
.
當(dāng)直線過定點(diǎn)，且與過此點(diǎn)的圓的半徑垂直時，被圓截得的弦長最短，此時直線
的斜率
，所以
，于是直線的方程為
，即.
沖刺100分單元優(yōu)化練考卷系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某產(chǎn)品的三個質(zhì)量指標(biāo)分別為x, y, z, 用綜合指標(biāo)S =" x" + y + z評價該產(chǎn)品的等級. 若S≤4, 則該產(chǎn)品為一等品. 現(xiàn)從一批該產(chǎn)品中, 隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品作為樣本, 其質(zhì)量指標(biāo)列表如下:
產(chǎn)品編號 | A1 | A2 | A3 | A4 | A5 |
質(zhì)量指標(biāo)(x, y, z) | (1,1,2) | (2,1,1) | (2,2,2) | (1,1,1) | (1,2,1) |
產(chǎn)品編號 | A6 | A7 | A8 | A9 | A10 |
質(zhì)量指標(biāo)(x, y, z) | (1,2,2) | (2,1,1) | (2,2,1) | (1,1,1) | (2,1,2) |
(Ⅰ) 利用上表提供的樣本數(shù)據(jù)估計該批產(chǎn)品的一等品率;
(Ⅱ) 在該樣品的一等品中, 隨機(jī)抽取兩件產(chǎn)品,
(1) 用產(chǎn)品編號列出所有可能的結(jié)果;
(2) 設(shè)事件B為 “在取出的2件產(chǎn)品中, 每件產(chǎn)品的綜合指標(biāo)S都等于4”, 求事件B發(fā)生的概率.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)f(x)＝lg
(k∈R，且k>0)．
(1)求函數(shù)f(x)的定義域；
(2)若函數(shù)f(x)在[10，＋∞)上單調(diào)遞增，求k的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】天水市第一次聯(lián)考后，某校對甲、乙兩個文科班的數(shù)學(xué)考試成績進(jìn)行分析，
規(guī)定：大于或等于120分為優(yōu)秀，120分以下為非優(yōu)秀．統(tǒng)計成績后，
得到如下的
列聯(lián)表，且已知在甲、乙兩個文科班全部110人中隨機(jī)抽取1人為優(yōu)秀的概率為
.
優(yōu)秀 | 非優(yōu)秀 | 合計 | |
甲班 | 10 | ||
乙班 | 30 | ||
合計 | 110 |
（1）請完成上面的列聯(lián)表；
（2）根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，若按99.9%的可靠性要求，能否認(rèn)為“成績與班級有關(guān)系”；
（3）若按下面的方法從甲班優(yōu)秀的學(xué)生中抽取一人：把甲班優(yōu)秀的10名學(xué)生從2到11進(jìn)行編號，先后兩次拋擲一枚均勻的骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為被抽取人的序號。試求抽到9號或10號的概率。
參考公式與臨界值表：
。
| 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的離心率為
，且經(jīng)過點(diǎn)M(1，
），過點(diǎn)P(2,1）的直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A，B.
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在直線l，滿足
？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某體育老師隨機(jī)調(diào)查了100名同學(xué)，詢問他們最喜歡的球類運(yùn)動，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表所示.已知最喜歡足球的人數(shù)等于最喜歡排球和最喜歡羽毛球的人數(shù)之和.
最喜歡的球類運(yùn)動 | 足球 | 籃球 | 排球 | 乒乓球 | 羽毛球 | 網(wǎng)球 |
人數(shù) | a | 20 | 10 | 15 | b | 5 |
（1）求
的值；
（2）將足球、籃球、排球統(tǒng)稱為“大球”，將乒乓球、羽毛球、網(wǎng)球統(tǒng)稱為“小球”.現(xiàn)按照喜歡大、小球的人數(shù)用分層抽樣的方式從調(diào)查的同學(xué)中抽取5人，再從這5人中任選2人，求這2人中至少有一人喜歡小球的概率.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐P—ABCD中，AP⊥CD，AD∥BC，AB＝BC＝1，AD＝2，E，F(xiàn)分別為AD，PC的中點(diǎn)．求證：
（1）AP∥平面BEF；
（2）平面BEF⊥平面PAC．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐P—ABCD中，AP⊥CD，AD∥BC，AB＝BC＝1，AD＝2，E，F(xiàn)分別為AD，PC的中點(diǎn)．求證：
（1）AP∥平面BEF；
（2）平面BEF⊥平面PAC．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】給定橢圓
，稱圓
為橢圓
的“伴隨圓”.已知點(diǎn)
是橢圓
上的點(diǎn)
（1）若過點(diǎn)
的直線
與橢圓
有且只有一個公共點(diǎn)，求
被橢圓
的伴隨圓
所截得的弦長：
（2）
是橢圓
上的兩點(diǎn)，設(shè)
是直線
的斜率，且滿足
，試問：直線
是否過定點(diǎn)，如果過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，如果不過定點(diǎn)，試說明理由。
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