Question

如圖，在直三棱柱中，，分別是的中點，且.

（1）求直線與所成角的大小；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

（1）；（2）．

試題分析：由已知有AC、BC、CC₁兩兩互相垂直，故可分別以、、所在直線為軸建立空間直角坐標系.然后由已知就可寫出所需各點的空間坐標．（1）由此就可寫出向量的坐標，然后再由兩向量的夾角公式：求出這兩向量的夾角的余弦值，最后轉化為對應兩直線的夾角大小；只是應該注意兩直線的夾角的取值范圍是，而兩向量的夾角的取值范圍是；所以求出兩向量的夾角的余弦值后取絕對值才是兩直線的夾角的余弦值；（2）由中點坐標公式可求得點Ｅ的坐標，進而就可寫出向量的坐標，再設平面的一個法向量為,由,就可求出平面的一個法向量，從而就可求得這兩向量夾角的余弦值，注意直線與平面所成的角的正弦值就等于直線的方向向量與平面法向量夾角的余弦值．
試題解析：解：分別以、、所在直線為軸建立空間直角坐標系.
則由題意可得：,,,,,,
又分別是的中點，,.                     3分
（1）因為， ，
所以，                     7分
直線與所成角的大小為.                                      8分
（2）設平面的一個法向量為,由,得,
可取，                                                    10分
又，所以，      13分
直線與平面所成角的正弦值為.                             14分