Question

（本小題滿分12分）已知橢圓，離心率為的橢圓經過點.
（1）求該橢圓的標準方程；
（2）過橢圓的一個焦點且互相垂直的直線分別與橢圓交于和，是否存在常數，使得？若存在，求出實數的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）（2）存在實數，使得.理由見解析

試題分析：（1）由題可知，即，
由此得，故橢圓方程是，
將點的坐標代入，得，解得，
故橢圓方程是.                                                ……4分
（2）問題等價于，即是否是定值問題.
橢圓的焦點坐標是，不妨取焦點，
當直線的斜率存在且不等于零時，
設直線的斜率為，則直線的方程是，
代入橢圓方程并整理得 
設，則.                  ……6分
根據弦長公式，
 =
==                                      ……8分
以代換，得                      ……9分
所以 
即                                        ……10分
當直線的斜率不存在或等于零時，
一個是橢圓的長軸長，一個是通徑長度，
此時，即.
綜上所述，故存在實數，使得.        ……12分
點評：圓錐曲線問題一般難度較大，要仔細分析，仔細運算，另外設直線方程時，要考慮到直線的斜率是否存在.