Question

【題目】設、分別是橢圓的左、右焦點.若是該橢圓上的一個動點，的最大值為1.

（1）求橢圓的方程；

（2）設直線與橢圓交于兩點，點關于軸的對稱點為(與不重合)，則直線與軸是否交于一個定點？若是，請寫出定點坐標，并證明你的結論；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ;(2)見解析.

【解析】分析：（1）由題意可得，，設，根據的最大值可得，從而得到橢圓的方程．（2）將直線方程代入橢圓方程消去x后得到關于的二次方程，設，，則，則可得經過點的直線方和為，令，結合根與系數的關系可得，從而可得直線與軸交于定點．

詳解：（1）由題意得，，，

∴，．

設，則

，

∵，

∴當，即點為橢圓長軸端點時，有最大值1，

即，解得，

故所求的橢圓方程為．

（2）由得消去x整理得，

顯然．

設，，則，

故，.

∴經過點，的直線方和為，

令，則，

又，，

∴，

即當．

∴直線與軸交于定點．