Question

圍建一個面積為360m²的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻（利用舊墻需維修），其它三面圍墻要新建，在舊墻的對面的新墻上要留一個寬度為2m的進出口，如圖所示，已知舊墻的維修費用為45元/m，新墻的造價為180元/m，設利用的舊墻的長度為x（單位：米）．
（1）將修建圍墻的總費用y表示成x的函數；
（2）當x為何值時，修建此矩形場地圍墻的總費用最小？并求出最小總費用．

Answer 1

分析：（1）設矩形的另一邊長為am，則根據圍建的矩形場地的面積為360m²，易得a=

360

x

，此時再根據舊墻的維修費用為45元/m，新墻的造價為180元/m，我們即可得到修建圍墻的總費用y表示成x的函數的解析式；
（2）根據（1）中所得函數的解析式，利用基本不等式，我們易求出修建此矩形場地圍墻的總費用最小值，及相應的x值．

解答：解：（Ⅰ）設矩形的另一邊長為am，
則y=45x+180（x-2）+180•2a=225x+360a-360．
由已知ax=360，得a=

360

x

，
所以y=225x+

3602

x

-360(x＞2)．

（II）因為x＞0，所以225x+

3602

x

≥2

225×3602

=10800，
所以y=225x+

3602

x

-360≥10440，當且僅當225x=

3602

x

時，等號成立．
即當x=24m時，修建圍墻的總費用最小，最小總費用是10440元．

點評：函數的實際應用題，我們要經過析題→建模→解模→還原四個過程，在建模時要注意實際情況對自變量x取值范圍的限制，解模時也要實際問題實際考慮．將實際的最大（小）化問題，利用函數模型，轉化為求函數的最大（小）是最優化問題中，最常見的思路之一．