Question

【題目】在平面直角坐標系中，圓上一點處的切線分別交軸軸于點，以為頂點且以為中心的橢圓記作，直線交于兩點.

（1）若橢圓的離心率為，求點坐標；

（2）證明：四邊形的面積.

Answer 1

【答案】（1）.（2）證明見解析

【解析】

（1）由切線得，寫出直線方程，求出兩點坐標，得橢圓標準方程，然后分類討論求橢圓的離心率，由離心率是求得點坐標；

（2）設方程為（且），由此寫出切線方程求得坐標，得橢圓方程，由直線方程與橢圓方程聯立可得點坐標，求出，再求出，由對稱性可得，注意計算時，令（）換元，然后利用基本不等式和函數性質可證得結論．

（1）依題意，

直線的方程為，

令得，

令得，

∴，

橢圓的方程為.

（1）若，

則橢圓的離心率，由得，而，

∴，則點；

（2）若，同理可得點，

綜上可得點坐標為或.

（2）證明：直線的斜率為，依題意有且，

直線的方程為，

直線的方程為，

令得，令得，

∴，

橢圓的方程為，

聯立，解得

，

∴，，

，

∴，

，

設，

，

設，

則，

當且僅當，即時取等號，

∴，∴.