Question

【題目】已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）若，求證：；

（2）若時，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)見證明；(2)

【解析】

（1）由題意知f′（x）＝ex，（x＞﹣a）．對a分類討論：當(dāng)a＝0時，可判斷顯然成立．當(dāng)0＜a≤1時，經(jīng)過分析得出f（x）的最小值為f（0），代入計算即可證明結(jié)論．

（2）等價于，利用進(jìn)行放縮，轉(zhuǎn)化為恒成立時的a的范圍，得到a<1,再去舉反例說明時，不恒成立，即可得到a的范圍.

（1）由，得 .

當(dāng)，，顯然成立.

當(dāng)時，令 ，則，

故在為增函數(shù).

又，可知函數(shù)在為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，

所以函數(shù)在的最小值為，

且.

當(dāng)時，，，所以成立，

綜上當(dāng)，有成立.

（2）因為當(dāng)時，，

所以，

則有.

又因為，所以若，則有.

令 ，則，由，得.

當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

故 ，

得.

當(dāng)時，存在，使得成立，

這與矛盾，所以，又，

綜上，即實(shí)數(shù)的取值范圍.