Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知點A(0，﹣2)，B(4，0)，圓C經過點(0，﹣1)，(0，1)及(，0)．斜率為k的直線l經過點B．

（1）求圓C的標準方程；

（2）當k＝2時，過直線l上的一點P向圓C引一條切線，切點為Q，且滿足PQ＝，求點P的坐標；

（3）設M，N是圓C上任意兩個不同的點，若以MN為直徑的圓與直線l都沒有公共點，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）P(3，﹣2)或(，)；（3）或．

【解析】

（1）設圓的一般方程，將三個點坐標代入，即得結果,再配方化為標準方程；

（2）設P(x，y)，根據切線長以及兩點間距離公式列方程，再根據點P在直線上。聯立方程組解得結果；

（3）根據垂徑定理列出以MN為直徑的圓上點滿足的條件（一個實心圓），再根據直線與圓位置關系列不等式解得結果.

（1）設圓C的方程為，

因為圓C經過點(0，﹣1)，(0，1)及(，0)

所以，解得，

所以圓C的方程為：，其標準方程為，

（2）設P(x，y)，由PQ與圓C切于點Q，得PQ2＝PC2﹣CQ2，又PQ＝PA，

所以，整理得，

又點P在直線l：上，

由，得或

所以P(3，﹣2)或(，)，

（3）設以MN為直徑的圓的圓心為K，T是該圓上任意一點

則K為MN中點，設CK＝d，則圓K的半徑為

因為，所以，

因為M，N是圓C上任意兩個不同的點，所以d∈[0，)，

對于任意d∈[0，)，，所以0≤CT2≤4，

故點T總在以C(﹣1，0)為圓心，2為半徑的圓上或其內部，

故直線l：y＝k(x﹣4)，即kx﹣y﹣4k＝0，與該圓無公共點，

所以，解得或．