【題目】已知函數
，其中為自然對數的底數.
（1）求函數
的極值點；
（2）若
，
恒成立，求
的取值范圍.
【答案】（1）當
時，無極值點；當
時，極值點為
；當
且
時，極值點為和
；（2）
.
【解析】
(1)先求出函數的導數
，討論、、且即可求出函數的極值點;
(2)由題意可將
，
恒成立轉化為時，
恒成立，然后構造函數
，分
，
與兩種情況討論，分別用導數的方法研究其在
上的單調性和值域，即可篩選出符合題意的
的取值范圍.
（1）,
當時，
，故無極值點；
當時，函數
只有一個極值點，極值點為；
當且時，函數有兩個極值點，分別為和.
（2）
，依題意，當時，
，
即當時，.
設，則
.
設
，則
.
①當時，
，
，從而
（當且僅當時，等號成立），
在上單調遞增.
又
，
當時，
，從而當時，
，
在上單調遞減，又
，
從而當時，
，即，
于是當時，.
②當時，令
，得
，
.
故當
時，
，
在
上單調遞減.
又，當時，
，從而當時，
，
在上單調遞增，又，
從而當時，
，即
，
于是當時，
，不符合題意.
綜上所述：實數的取值范圍為.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知點A(0，﹣2)，B(4，0)，圓C經過點(0，﹣1)，(0，1)及(
，0)．斜率為k的直線l經過點B．
（1）求圓C的標準方程；
（2）當k＝2時，過直線l上的一點P向圓C引一條切線，切點為Q，且滿足PQ＝
，求點P的坐標；
（3）設M，N是圓C上任意兩個不同的點，若以MN為直徑的圓與直線l都沒有公共點，求k的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）的折線圖.
（Ⅰ）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關系，請用相關系數加以說明；
（Ⅱ）建立y關于t的回歸方程（系數精確到0.01），預測2016年我國生活垃圾無害化處理量.
附注：
參考數據：
，
，
，
≈2.646.
參考公式：相關系數
回歸方程
中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：
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【題目】已知橢圓
:
的上頂點為A,以A為圓心，橢圓的長半軸為半徑的圓與y軸的交點分別為
、
.
（1）求橢圓的方程；
（2）設不經過點A的直線
與橢圓交于P、Q兩點，且
,試探究直線是否過定點？若過定點，求出該定點的坐標，若不過定點，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某公司培訓員工某項技能，培訓有如下兩種方式：
方式一：周一到周五每天培訓1小時，周日測試
方式二：周六一天培訓4小時，周日測試
公司有多個班組，每個班組60人，現任選兩組
記為甲組、乙組
先培訓；甲組選方式一，乙組選方式二，并記錄每周培訓后測試達標的人數如表：
第一周 | 第二周 | 第三周 | 第四周 | |
甲組 | 20 | 25 | 10 | 5 |
乙組 | 8 | 16 | 20 | 16 |
用方式一與方式二進行培訓，分別估計員工受訓的平均時間精確到
，并據此判斷哪種培訓方式效率更高？
在甲乙兩組中，從第三周培訓后達標的員工中采用分層抽樣的方法抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人，求這2人中至少有1人來自甲組的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在三棱柱
中，
底面
，△ABC是邊長為
的正三角形，
，D，E分別為AB，BC的中點．
（Ⅰ）求證：
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值；
（Ⅲ）在線段
上是否存在一點M，使
平面
？說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，以
為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線
的極坐標方程為
，曲線
的極坐標方程為
，曲線
的極坐標方程為
．
（Ⅰ）求與的直角坐標方程；
（Ⅱ）若與的交于
點，與交于
、
兩點，求
的面積．
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