Question

直線l：y=x+b與拋物線C：x²=4y相切于點A．
（Ⅰ）求實數b的值，及點A的坐標；
（Ⅱ）求過點B（0，-1）的拋物線C的切線方程．

Answer 1

（Ⅰ）直線l：y=x+b與拋物線C：x²=4y聯立，消去y，可得x²-4x-4b=0．（*）
因為直線l與拋物線C相切，所以△=（-4）²-4×（-4b）=0，解得b=-1；
代入方程（*）即為x²-4x+4=0，解得x=2，y=1，故點A（2，1）．
（Ⅱ）設過點B（0，-1）的拋物線C的切線方程為y=kx-1．
與拋物線C：x²=4y聯立，消去y，可得x²-4kx+4=0，
因為直線l與拋物線C相切，所以△=（-4k）²-4×4=0，解得k=±1，
所以過點B（0，-1）的拋物線C的切線方程為y=±x-1．