Question

【題目】如圖，三棱柱中，已知四邊形是菱形，與交于點(diǎn)，且，，，.

（1）連接，證明：直線平面.

（2）求平面和平面所成的角（銳角）的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)

【解析】

（1）要證平面，轉(zhuǎn)證，即可；

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，求出平面和平面的法向量,代入公式計(jì)算即可.

（1）因?yàn)槠叫兴倪呅?/span>是菱形，所以，且是的中點(diǎn).

又因?yàn)?/span>，，所以且.又因?yàn)?/span>，為公共邊，所以，所以，故，從而，，兩兩垂直.

所以平面.

（2）由（1）可知，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，

，

因?yàn)?/span>，，兩兩垂直，所以平面，

所以是平面的一個(gè)法向量；

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，即，

令，得，，所以

所以

所以平面和平面所成的角（銳角）的余弦值為.