【題目】已知橢圓
的兩個焦點分別為
和
，過點
的直線與橢圓相交與
兩點，且
.
（1）求橢圓的離心率；
（2）求直線
的斜率；
（3）設點
與點
關于坐標原點對稱，直線
上有一點
在
的外接圓上，且
，求橢圓方程.
【答案】（1）
.
（2）
.
（3）
.
【解析】
（1）由
，
，得
，得到
的關系式，由此能求出離心率；（2）將橢圓的方程為寫為
，設直線
的方程為
，設
，
，聯立方程組，由此利用根的判別式、韋達定理，結合已知條件能求出直線的斜率；（3）求出
，
，取
，得
，推導出外接圓的方程，與直線
的方程聯立解出
，得，再由
，解得
，由此能求出橢圓方程．
（1）由
且，得
，從而
整理，得
，故離心率
.
（2）由（1）得
，所以橢圓的方程可寫為
設直線的方程為
，即
.
由已知設
，則它們的坐標滿足方程組
消去
整理，得
.
依題意，
，得
.
而
①
②
由題設知，點
為線段
的中點，所以
③
聯立①③解得
將 
代入②中，解得.
（3）由（2）可知
.
不妨取
，得
，由已知得
.
線段
的垂直平分線
的方程為
，直線與
軸的交點
是
外接圓的圓心，因此外接圓的方程為
.
直線的方程為
，于是點
的坐標滿足方程組
，由
，解得
由
解得
故橢圓方程為.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某學校初中部共120名教師，高中部共180名教師，其性別比例如圖所示，已知按分層抽樣方法得到的工會代表中，高中部女教師有6人，則工會代表中男教師的總人數為________.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，給出下列結論:
（1）若對任意
，且
，都有
，則
為R上的減函數；
（2）若
為R上的偶函數，且在
內是減函數， 
，則
解集為
；
（3）若
為R上的奇函數，則
也是R上的奇函數；
（4）
為常數，若對任意的
,都有
則
關于
對稱.
其中所有正確的結論序號為_________
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在試驗E“連續拋擲一枚骰子2次，觀察每次擲出的點數”中，事件A表示隨機事件“第一次擲出的點數為1”，事件
表示隨機事件“第一次擲出的點數為1，第二次擲出的點數為j，事件B表示隨機事件“2次擲出的點數之和為6”，事件C表示隨機事件“第二次擲出的點數比第一次的大3”，
（1）試用樣本點表示事件
與
；
（2）試判斷事件A與B，A與C，B與C是否為互斥事件；
（3）試用事件表示隨機事件A.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】（1）把
本不同的書分給
位學生，每人至少一本，有多少種方法？
（2）由
這個數字組成沒有重復數字的四位偶數由多少個？
（3）某旅行社有導游
人，其中
人只會英語，人只會日語，其余
人既會英語，也會日語，現從中選人，其中人進行英語導游，另外人進行日語導游，則不同的選擇方法有多少種？
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