Question

【題目】已知f（x）=lnx，g（x）= x2+mx+ （m＜0），直線l與函數f（x）的圖象相切，切點的橫坐標為1，且直線l與函數g（x）的圖象也相切．
（1）求直線l的方程及實數m的值；
（2）若h（x）=f（x）﹣x+3，求函數h（x）的最大值；
（3）當0＜b＜a時，求證：f（a+b）﹣f（2a）＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f'（x）= ，∴f'（1）=1．∴直線l的斜率為k=1，且與函數f（x）的圖象的切點坐標為（1，0）．

∴直線l的方程為y=x﹣1．

又∵直線l與函數y=g（x）的圖象相切，

∴方程組 有一解．由上述方程消去y，并整理得

x2+2（m﹣1）x+9=0 ①

方程①有兩個相等的實數根，∴△=[2（m﹣1）]2﹣4×9=0

解得m=4或m=﹣2；∵m＜0∴m=﹣2

（2）解：由（1）可知g（x）= ﹣2x+ ，∴g'（x）=x﹣2

h（x）=f（x）﹣x+13=lnx﹣x+3（x＞0）．h'（x）= ﹣1= ．

∴當x∈（0，1）時，h'（x）＞0，當x∈（1，+∞）時，h'（x）＜0．

∴當x=1時，h（x）取最大值，其最大值為2

（3）解：證明： f（a+b）﹣f（2a）=ln（a+b）﹣ln2a=ln ．

∵0＜b＜a，0＜

由（2）知當x∈（0，1）時，h（x）＜h（1）∴即x∈（0，1）時，lnx﹣x+3＜2，lnx＜x﹣1

ln ＜ ．

∴f（a+b）﹣f（2a）＜

【解析】（1）首先求出直線l方程為y=x﹣1，直線l與函數y=g（x）的圖象相切，所以有x2+2（m﹣1）x+9=0方程有兩個相等實根．（2）利用導數判斷函數的單調性，直接求出函數的最大值即可；（3）由（2）知當x∈（0，1）時，h（x）＜h（1），即x∈（0，1）時，lnx﹣x+3＜2，lnx＜x﹣1來證明．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數的最大(小)值與導數的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．