Question

【題目】已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直， ，AF=1，M是線段EF的中點．

（1）求證：AM∥平面BDE；
（2）求證：AM⊥平面BDF．

Answer 1

【答案】
（1）解：建立如圖的直角坐標系，則各點的坐標分別為：

O（0，0，0），A（0，1，0），B（﹣1，0，0），C（0，﹣1，0，），D（1，0，0，），

E（0，﹣1，1），F（0，1，1），M（0，0，1）

∵

∴ ，即AM∥OE，

又∵AM平面BDE，OE平面BDE，

∴AM∥平面BDE

（2）解：∵ ，

∴ ，

∴AM⊥BD，AM⊥DF，∴AM⊥平面BDF．

【解析】（1）利用空間向量來證明，先建立空間直角坐標系，求出定點坐標，欲證AM∥平面BDE，只需用坐標證明向量 與平面BDE上的一個向量是平行向量即可．（2）欲證AM⊥平面BDF，只需證明向量 與平面BDF中的兩個不共線向量垂直即可，也即在平面BDF中找到兩個向量，與向量 數量積等于0．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關知識，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行，以及對直線與平面垂直的判定的理解，了解一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．