Question

【題目】請你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒，如圖所示，是邊長為的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒，在上，是被切去的一個(gè)等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)().

（1）某廣告商要求包裝盒的側(cè)面積最大，試問應(yīng)取何值？

（2）某廠商要求包裝盒的容積最大，試問應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長的比值.

Answer 1

【答案】（1）（2）；高與底面邊長的比值為

【解析】

（1）設(shè)包裝盒的底面邊長為，高為，由題意得到，，，

根據(jù)側(cè)面積公式，得出，由二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出最值；

（2）根據(jù)體積公式，由題意，得到，用導(dǎo)數(shù)的方法求出最值，即可得出結(jié)果.

（1）設(shè)包裝盒的底面邊長為，高為，

則由題意可得，，，

所以，

∴當(dāng)時(shí)，取得最大值

（2）根據(jù)題意，由（1）有

∴

由得，（舍）或.

∴當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，

∴當(dāng)時(shí)取得極大值，也是最大值，此時(shí)包裝盒的高與底面邊長的比值為

即包裝盒的高與底面邊長的比值為.