Question

【題目】已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）上的點A（4，t）到其焦點F的距離為5．

（Ⅰ）求拋物線C的方程；

（Ⅱ）過點F作直線l，使得拋物線C上恰有三個點到直線1的距離為2，求直線1的方程．

Answer 1

【答案】（I）；（II）.

【解析】

（Ⅰ）由已知列式求出p的值，則拋物線的方程可求；

（Ⅱ）由題意可知，當直線l的斜率不存在時，C上僅有兩個點到l的距離為2，不合題意；當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y＝k（x﹣1），要滿足題意，需使在含坐標原點的弧上有且只有一個點P到直線l的距離為2，且過點P的直線l平行y＝k（x﹣1）且與拋物線C相切．設切線方程為y＝kx+m，與拋物線方程聯立，利用判別式為0可得m與k的關系，再由F到直線y＝k（x﹣1）的距離為2求得k值，則直線l的方程可求．

（Ⅰ）由拋物線的定義可知|AF|＝d＝45，

解得：p＝2，

故拋物線的方程是：y2＝4x；

（Ⅱ）由題意可知，當直線l的斜率不存在時，C上僅有兩個點到l的距離為2，不合題意；

當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y＝k（x﹣1），

要滿足題意，需使在含坐標原點的弧上有且只有一個點P到直線l的距離為2，

且過點P的直線l平行y＝k（x﹣1）且與拋物線C相切．

設切線方程為y＝kx+m，

代入y2＝4x，可得k2x2+（2km﹣4）x+m2＝0．

由△＝（2km﹣4）2﹣4k2m2＝0，得km＝1．

由，整理得：3k2﹣2km﹣m2+4＝0．

即，解得，即k．

因此，直線方程為y．