Question

【題目】如圖，在棱長(zhǎng)為ɑ的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分別是CB、CD、CC1的中點(diǎn)．

（1）求直線C與平面ABCD所成角的正弦的值；

（2）求證：平面A B1D1∥平面EFG；

（3）求證：平面AA1C⊥面EFG ．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析。

【解析】試題分析：(1)因?yàn)?/span>平面ABCD,所以為與平面ABCD所成角,

然后解三角形求出此角即可.

（2）證明面面平行根據(jù)判定定理只須證明平面平面A B1D1內(nèi)兩條相交直線和分別平行于平面EFG即可.在證明線面平行時(shí)又轉(zhuǎn)化為證明線線平行.

(3)易證：BD平面AA1C，再證明EF//BD，因而可證出平面AA1C⊥面EFG.

（1）∵平面ABCD=C，在正方體ABCD-A1B1C1D1

平面ABCD

∴AC為在平面ABCD的射影

∴為與平面ABCD所成角……….2分

正方體的棱長(zhǎng)為

∴AC=，=

………..4分

（2）在正方體ABCD-A1B1C1D1

連接BD，∥，=

為平行四邊形

∴∥∵E，F分別為BC，CD的中點(diǎn)

∴EF∥BD∴EF∥…………3分

∵EF平面GEF，平面GEF

∴∥平面GEF …………7分

同理∥平面GEF∵=

∴平面A B1D1∥平面EFG ……………9分

（3）在正方體ABCD-A1B1C1D1∴平面ABCD

∵EF平面ABCD

∴EF …………10分

∵ABCD為正方形

∴ACBD

∵EF∥BD

∴ACEF ………..11分

∴EF平面AA1C

∵EF平面EFG

∴平面AA1C⊥面EFG …………….12分.