Question

【題目】已知點分別是橢圓的左右頂點， 為其右焦點， 與的等比中項是，橢圓的離心率為.

(1)求橢圓的方程；

(2)設不過原點的直線與該軌跡交于兩點，若直線的斜率依次成等比數列，求的面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】試題分析：(1)利用， ， 是與的等比中項，得到，結合橢圓得離心率求解即可；(2)依題意知直線的斜率存在且不為0，設直線， ， ，聯立直線和橢圓消去可得，利用判別式以及韋達定理，通過， ， 的斜率依次成等比數列，推出，求出， ，且，然后求出點到直線的距離，表示出三角形面積，求解范圍即可.

試題解析：(1) ， ， 是與的等比中項，

∴，

∴，又，解得，

∴橢圓的方程為.

(2)由題意可知，直線的斜率存在且不為0，故可設直線， ， ，

聯立直線和橢圓，消去得， ，

由題意可知， ，

即，

且， ，

又直線， ， 的斜率依次成等比數列，所以，

將， 代入并整理得，

因為， ， ，且，

設為點到直線的距離，則有， ，

∴，

∴三角形面積的取值范圍為.