Question

【題目】已知函數f（x）=x+ +lnx，a∈R． （Ⅰ）若f（x）在x=1處取得極值，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在區間（1，2）上單調遞增，求a的取值范圍；
（Ⅲ）討論函數g（x）=f'（x）﹣x的零點個數．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數f（x）=x+ +lnx（x＞0）， f′（x）=1﹣ + = ，
f（x）在x=1處取得極小值，
即有f′（1）=0，解得a=2，
經檢驗，a=2時，f（x）在x=1處取得極小值．
則有a=2；
（Ⅱ）f′（x）=1﹣ + = ，x＞0，
f（x）在區間（1，2）上單調遞增，
即為f′（x）≥0在區間（1，2）上恒成立，
即a≤x2+x在區間（1，2）上恒成立，
由x2+x∈（2，6），
則a≤2；
（Ⅲ）g（x）=f′（x）﹣x=1﹣ + ﹣x，x＞0，
令g（x）=0，則a=﹣x3+x2+x，
令h（x）=﹣x3+x2+x，x＞0，
則h′（x）=﹣3x2+2x+1=﹣（3x+1）（x﹣1），
當x∈（0，1），h′（x）＞0，h（x）在（0，1）遞增；
當x∈（1，+∞），h′（x）＜0，h（x）在（1，+∞）遞減．
即有h（x）的最大值為h（1）=1，
則當a＞1時，函數g（x）無零點；
當a=1或a≤0時，函數g（x）有一個零點；
當0＜a＜1時，函數g（x）有兩個零點
【解析】（Ⅰ）求出函數的導數，由題意可得f′（1）=0，即可解得a，注意檢驗；（Ⅱ）由條件可得，f′（x）≥0在區間（1，2）上恒成立，運用參數分離，求得右邊函數的范圍，即可得到a的范圍；（Ⅲ）令g（x）=0，則a=﹣x3+x2+x，令h（x）=﹣x3+x2+x，x＞0，求出導數，求得單調區間和最值，結合圖象對a討論，即可判斷零點的個數．
【考點精析】通過靈活運用利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值即可以解答此題．