Question

【題目】如圖，四棱錐中，側面為等邊三角形且垂直于底面， ， ， 是中點.

(1)證明：直線平面；

(2)點在棱上，且直線與底面所成角為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) .

【解析】試題分析：(1)取的中點，連結，通過證明，利用直線與平面平行得判定定理證明即可；(2) 由已知得，以為坐標原點， 的方向為軸正方向， 為單位長，建立空間直角坐標系，由與底面所成的角為，求得的坐標，再求出平面的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可求解二面角的余弦值即可.

試題解析：(1)取的中點，連結，

∵是中點

∴，

由，得

又∵

∴， ，則四邊形為平行四邊形

∴，

又∵平面， 平面

∴平面.

(2)由已知得，以為坐標原點， 的方向為軸正方向， 為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系.

則， ， ， ， ， ，

設 ，則， ，

∵與底面所成的角為，而是底面的法向量，

∴， ，即.①

又在棱上，設，則

， ， ，②

由①，②得， .

∴，從而，

設是平面的法向量，則

，即，

∴可取，于是，

∴二面角的余弦值為.