Question

【題目】(2015·湖北）設函數，的定義域均為，且是奇函數，是偶函數，，其中e為自然對數的底數.
（Ⅰ）求，的解析式，并證明：當時，，；
（Ⅱ）設，，證明：當時，.

Answer 1

【答案】見解答
【解析】 （Ⅰ）由 ， 的奇偶性及，①得：②聯立①②解得
，.證明：當時，，，故 ③
又由基本不等式，有，即 ④
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
⑥
當時，等價于 ⑦ 等價于 ⑧于是設函數 ，由⑤⑥，有 .當時，（1）若，由③④，得，故在上為增函數，從而，即，故⑦成立.（2）若，由③④，得，故在上為減函數，從而，即，故⑧成立.綜合⑦⑧，得 .

【考點精析】關于本題考查的函數單調性的性質和正弦函數的奇偶性，需要了解函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集；正弦函數為奇函數才能得出正確答案．