Question

【題目】在△ABC中，設邊a，b，c所對的角為A，B，C，且A，B，C都不是直角，（bc﹣8）cosA+accosB=a2﹣b2 ． （Ⅰ）若b+c=5，求b，c的值；
（Ⅱ）若 ，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵ ， ∴ ，
∴ ，
∵△ABC不是直角三角形，
∴bc=4，
又∵b+c=5，
∴解得 或
（Ⅱ）∵ ，由余弦定理可得5=b2+c2﹣2bccosA≥2bc﹣2bccosA=8﹣8cosA，
∴ ，
∴ ，所以 ．
∴△ABC面積的最大值是 ，當 時取到
【解析】（Ⅰ）由已知利用余弦定理化簡已知等式可得 ，又△ABC不是直角三角形，解得bc=4，又b+c=5，聯立即可解得b，c的值．（Ⅱ）由余弦定理，基本不等式可得5=b2+c2﹣2bccosA≥2bc﹣2bccosA=8﹣8cosA，解得 ，可求 ，利用三角形面積公式即可得解三角形面積的最大值．
【考點精析】掌握正弦定理的定義和余弦定理的定義是解答本題的根本，需要知道正弦定理:；余弦定理:;;．