Question

【題目】已知橢圓C:,過點D(1，0)且不過點E(2，1)的直線與橢圓C交于A，B兩點，直線AE與直線x=3交于點M。
（1）（I）求橢圓C的離心率；
（2）（II）若AB垂直于x軸，求直線BM的斜率。
（3）（III）試判斷直線BM與直線DE的位置關系，并說明理由。

Answer 1

【答案】
（1）

（2）

k=1

（3）

直線BM與直線DE平行

【解析】
（I）橢圓C的標準方程為.所以a=,b=1,c=.所以橢圓C的離心率.
(II)因為AB的方程為y-1=(1-)(x-2).令x=3,得M（3,2-）.所以直線BM的斜率.
（III）直線BM與直線DE平行，證明如下：
當直線AB的斜率不存在時，由（II）可知.
有因為直線DE的斜率,所以BM//DE .
當直線AB的斜率存在時，設其方程為y=k(x-1)(k1).
設A（,）,B（,）,則直線AE的方程為.令x=3，得點M（3，）.
由,得.
所以,.
直線BM的斜率.
因為，
所以
所以BM//DE.
綜上可知，直線BM與直線DE平行。
【考點精析】本題主要考查了直線的斜率和橢圓的標準方程的相關知識點，需要掌握一條直線的傾斜角α(α≠90°)的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母k表示,也就是 k = tanα；橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能正確解答此題．