Question

【題目】已知函數f（x）=（x﹣1）2+a（lnx﹣x+1）（其中a∈R，且a為常數）
（1）若對于任意的x∈（1，+∞），都有f（x）＞0成立，求a的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，若方程f（x）+a+1=0在x∈（0，2]上有且只有一個實根，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（1）∵f（x）=（x﹣1）2+a（lnx﹣x+1），
∴f′（x）=2（x﹣1）+a（﹣1）=（x﹣1）（2﹣）；
且f（1）=0+a（ln1﹣1+1）=0，
①當a≤2時，f′（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，
故f（x）＞=f（1）=0；
②當a＞2時，
可知f（x）在（1，）上是減函數，在（，+∞）上是增函數；
故f（）＜0；
綜上所述，a≤2；
（2）f（x）+a+1=（x﹣1）2+a（lnx﹣x+1）+a+1，
當a＜0時，f（x）+a+1在（0，1]上是減函數，在（1，2]上是增函數；
且（（x﹣1）2+a（lnx﹣x+1）+a+1）=+∞，
f（1）+a+1=a+1，f（2）+a+1=1+a（ln2﹣1）+a+1；
故a+1=0或1+a（ln2﹣1）+a+1＜0；
故a=﹣1或a＜﹣；
當a=0時，f（x）+a+1=（x﹣1）2+1＞0，故不成立；
當0＜a＜2時，
f（x）+a+1在（0，]上是增函數，在（，1]上是減函數，在（1，2]上是增函數；
且（（x﹣1）2+a（lnx﹣x+1）+a+1）=﹣∞，
f（1）+a+1=a+1＞0，
故方程f（x）+a+1=0在x∈（0，2]上有且只有一個實根，
當a=2時，f（x）+a+1=（x﹣1）2+2（lnx﹣x+1）+2+1=（x﹣1）2+2（lnx﹣x+1）+3，
故f（x）在（0，2]上是增函數；
且（（x﹣1）2+2（lnx﹣x+1）+3）=﹣∞，f（1）=3＞0；
故方程f（x）+a+1=0在x∈（0，2]上有且只有一個實根，
綜上所述，a＜﹣或a=﹣1或0＜a≤2．
【解析】（1）求導f′（x）=2（x﹣1）+a（﹣1）=（x﹣1）（2﹣），且f（1）=0+a（ln1﹣1+1）=0，從而討論以確定函數的單調性，從而解得；
（2）化簡f（x）+a+1=（x﹣1）2+a（lnx﹣x+1）+a+1，從而討論以確定函數的單調性，從而解得．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的最大(小)值與導數的相關知識，掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．