Question

(本小題12分)如圖，、分別是正四棱柱上、下底面的中
心，是的中點，.
（Ⅰ）求證：∥平面；
（Ⅱ當取何值時，在平面內的射影恰好為的重心?
 

Answer 1

(Ⅰ)證明 見解析；       
（Ⅱ）當時，在平面內的射影恰好為的重心.

本題是中檔題，考查空間向量求直線與平面平行，法向量的求法，直線與平面所成的角，考查計算能力．
（1）以點O為原點，直線OA、OB、OP所在直線分別為x、y、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨設AB=2，然后利用平面向量基本定理來證明線面平行。
（2）先由（Ⅰ）知△PBC的重心G坐標，然后利用利用數量積垂直關系為0，得到參數k的值。
以點為原點，直線所在直線分別為軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系，

不妨設，
則得、、、、 
(Ⅰ)證明 由上得、、
，設得

解得， ∴
， ∴∥平面            
（Ⅱ）解 由(Ⅰ)知的重心為，則，

若在平面內的射影恰好為的重心，則有，解得
∴當時，在平面內的射影恰好為的重心.