Question

【題目】在平面直角坐標系中，曲線的方程是： ，以坐標原點為極點， 軸正半軸為極軸建立極坐標系.

（1）求曲線的極坐標方程；

（2）設過原點的直線與曲線交于， 兩點，且，求直線的斜率.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：

（1）將直角坐標方程轉化為極坐標方程可得曲線的極坐標方程為.

（2）法1：由圓的弦長公式可得圓心到直線距離，由幾何關系可得直線的斜率為.

法2：設直線： （為參數），與圓的直角坐標方程聯立，利用直線參數的幾何意義可得直線的斜率為.

法3：設直線： ，與圓的方程聯立，結合圓錐曲線的弦長公式可得直線的斜率為.

法4：設直線： ，結合弦長公式可得圓心到直線距離，利用點到直線距離公式解方程可得直線的斜率為.

試題解析：

（1）曲線： ，即，

將， 代入得

曲線的極坐標方程為.

（2）法1：由圓的弦長公式及，得圓心到直線距離，

如圖，在中，易得，可知

直線的斜率為.

法2：設直線： （為參數），代入中得，整理得，

由得，即，

解得，從而得直線的斜率為.

法3：設直線： ，代入中得

，即，

由得，即，

解得直線的斜率為.

法4：設直線： ，則圓心到直線的距離為，

由圓的弦長公式及，得圓心到直線距離，

所以，解得直線的斜率為.