Question

【題目】已知， ，點是動點，且直線和直線的斜率之積為.

（1）求動點的軌跡方程；

（2）設直線與（1）中軌跡相切于點，與直線相交于點，判斷以為直徑的圓是否過軸上一定點？

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：

（1）設，則依題意得，利用斜率的定義計算可得軌跡方程為.

（2）法1：設直線： ，與橢圓方程聯立有，由判別式等于零可得，且，故， ，計算可得，而，可得圓的方程為，討論可得為直徑的圓過軸上一定點.

法2：設，則曲線在點處切線方程為，令，得，據此可得圓的方程為，討論可得為直徑的圓過軸上一定點.

試題解析：

（1）設，則依題意得，又， ，所以有

，整理得，即為所求軌跡方程.

（2）法1：設直線： ，與聯立得

，即，

依題意，即，

∴，得，

∴，而，得，又，

設為以為直線的圓上一點，則由，

得，

整理得，

由的任意性得且，解得，

綜上知，以為直徑的圓過軸上一定點.

法2：設，則曲線在點處切線： ，令，得

，設，則由得

，即，

由的任意性得且，解得，

綜上知，以為直徑的圓過軸上一定點.