Question

【題目】如圖，在三棱錐中，△ABC是等邊三角形，AB⊥AD，CB⊥CD，點P是AC的中點，記△BPD、△ABD的面積分別為，，二面角A－BD－C的大小為，

證明：（Ⅰ）平面ACD平面BDP；

（Ⅱ）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）由題意可知Rt△BAD≌Rt△BCD，∴AD＝CD，又P是AC的中點，∴PB⊥AC，PD⊥AC，可得AC⊥平面BDP ，結合面面垂直的判定定理即可得證。

（Ⅱ）作AM⊥ BD，M為垂足，連接PM，CM．可得AC⊥PM，AC⊥BD，所以BD⊥CM，則∠AMC就是二面角A－BD－C的平面角，即∠AMC＝． 可求出與的關系，即可得證。

（Ⅰ）證明：∵△ABC是等邊三角形，AB⊥AD，CB⊥CD，

∴Rt△BAD≌Rt△BCD，∴AD＝CD．　　　　　

∵點P是AC的中點，∴PB⊥AC，PD⊥AC，

又＝P，平面BDP，平面BDP，

∴AC⊥平面BDP，

∵平面ACD，∴平面ACD⊥平面BDP．

（Ⅱ）證明：作AM⊥ BD，M為垂足，連接PM，CM．

由（1）知AC⊥平面BDP，則AC⊥PM，AC⊥BD，

∵，∴BD⊥平面ACM，

∴BD⊥CM，則∠AMC就是二面角A－BD－C的平面角，即∠AMC＝．

又P為AC的中點，PM⊥AC，則∠AMP＝，

所以 ，

所以．